Histogram

이미지에서 픽셀 값의 분포를 그래픽으로 표현한 것

이미지의 히스토그램은 x축에는 픽셀의 강도 값(일반적으로 0~255 사이의 값)을, y축에는 해당 픽셀 강도 값을 가진 픽셀의 개수를 나타낸다.

Intensity Histogram

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• $r_k$: L-level 디지털 이미지 $f(x,y)$의 강도를 나타낸다.
  • L-Level: 이미지에서 나타날 수 있는 강도의 총 레벨(종류)를 의미한다.
• $f:h(r_k)=n_k$ 는 정규화 되지 않은 히스토그램을 나타낸다.
  • $n_k$는 강도 $r_k$를 가진 픽셀의 수. k 는 인텐시티 레벨; 0 부터 L-1 까지의 값을 가짐
• Histogram bins: 강도 척도의 세분화. 각 빈은 특정 강도 범위에 속하는 픽셀의 수를 나타냄
• Normalized histogram $f:p(r_k)=\frac{h(r_k)}{MN}=\frac{n_k}{MN}$
  • 정규화된 히스토그램 $p(r_k)$는 각 인텐시티 레벨$r_k$의 확률를 나타낸다. 각 인텐시티 레벨에 있는 픽셀의 수 $n_k$를 전체 픽셀 수 MN 으로 나눈 것.
    • M, N은 행, 열
• $p(r_k)$는 인텐시티 레벨의 확률을 추정한다. 모든 강도 레벨의 합은 1이다.
• Mostly, work with normalized histograms. (일반적으로, 정규화된 히스토그램 작업이 동시에 이루어진다.)

• 히스토그램은 이미지의 각 픽셀 강도 레벨의 분포를 도식화 한 것이며, 정규화된 히스토그램은 이를 확률적으로 나타냅니다.

• Histogram shape is related to image appearance
  • 히스토그램의 형태는 이미지와 관련이 있다. (아래 예시 참조)

Histogram Equalization

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• 목적: 히스토그램을 균일하게 분포시켜 이미지의 대비를 최대화
• 히스토그램 평활화는 이미지의 히스토그램을 균일하게 만들어 대비를 개선하는 기법이다.

• 이는 강도의 누적 분포 함수(CDF)를 사용하여 이루어지며, 결과적으로 입력 이미지의 히스토그램 형태와 무관하게 출력 이미지의 히스토그램은 항상 균일하게 된다.

• Intensity Mapping Transformation: $s=T(r), 0\leq r\leq L-1$
• Assume
  • $T(r)$은 $0\leq r\leq L-1$ 에 대해 (엄밀히) 단조 증가 함수이다.
  • $0\leq T(r)\leq L-1$ 이며, 이미지의 인텐시티 $r$ 는 [0, L-1]의 무작위 변수로 볼 수 있다.

PDF(확률 밀도 함수) & CDF (누적 분포 함수)

• 히스토그램은 확률 밀도 함수 (PDF)로 간주될 수 있다.
  • A histogram can be considered as a probability density function (PDF)
    • $p_r(r)$과 $p_s(s)$는 인텐시티 값 r 과 s 의 PDF 이다.
    • $\int_{0}^{r}p_r(w)dw=T(r)=(L-1)\int_{0}^{r}p_r(w)dw$ 는 무작위 변수 r 의 CDF 이다.
    • L-1은 s 의 최대 인텐시티 값이다.
    • 변환된 변수 s 의 PDF 는 $P_s(s)=p_r(r)|\frac{dr}{ds}|=p_r(r)|\frac{1}{\frac{d}{dr}T(r)}|$ 로 주어진다.
    • $p_s(s)$ 는 항상 균일하며, $p_r(r)$ 의 형태에 독립적이다.

• $s=T(r)=(L-1)\int{r}{0}p_r(w)dw$
• 강도 레벨 $r_k$ 발생 확률은 $p_r(r_k)=\frac{n_k}{MN}$

• 변환의 이산 형태는 $s_k=T(r_k)=(L-1)\sum^{k}_{j=0}p_r(r_j),~k=0,1,2,…,L-1$ 이다.

• PDF 는 CDF 의 도함수이다. : $p(x)=\frac{dF(x)}{dx}$
• CDF 는 PDF 의 적분이다. : $F(x)=\int{x}{-\infty}p(t)dt$

Probability Density Function(확률 밀도 함수, PDF)

• 정의: 연속 확률 변수의 확률 분포
• 기능: 특정 값에 대한 확률을 제공
• $p(x)$
  • x = 연속 확률 변수
• 특징:
  • PDF 의 값은 항상 0 이상이다.
  • PDF 아래의 전체 영역 (모든 가능한 확률)은 1이다. $\int{\infty}{-\infty}p(x)dx=1$
• PDF 는 확률 변수가 특정 값 또는 값의 범위 내에서 취할 확률을 결정하는 데 사용

Cumulative Distribution Function (누적 분포 함수, CDF)

• 정의: 확률 변수가 특정 값 이하가 될 확률
• 기능: 변수의 분포. 특정 값 이하의 확률 제공
• 수학식:
  • 연속 변수: $F(x)=\int{x}{-infty}p(t)dt$
  • 이산 변수: $F(x)=P(X\leq x)=\sum_{i\leq x}P(X=i)$
• 특징:
  • CDF 는 항상 0 to 1 사이의 값을 가진다.
  • CDF 는 단조 증가 함수이다. $x_1<x_2$이면 $F(x-1)$\leqF(x_2)$
• CDF 는 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같을 확률 제공.

Example

Histogram Matching (Specification)

• Generate images that have a specified histogram
• 주요 변수
  • r: 입력 이미지 인텐시티
  • z: 출력 이미지의 인텐시티
  • $p_r(r)$: 입력 이미지의 PDF
  • $p_z(z)$: 출력 이미지의 목표 PDF
  • $G(z)$: 변수 z에 대한 함수
  • $T(r)$: 누적 분포 함수 (CDF) 형태의 함수
• 목표: 입력 이미지의 히스토그램을 목표 히스토그램과 일치시키는 것
• 방법: 입력 이미지와 출력 이미지의 CDF를 계산하고, 이를 사용하여 입력 이미지의 각 픽셀 인텐시티를 새로운 인텐시티 값으로 매핑
• 결과: 출력 이미지는 주어진 목표 히스토그램 $p_z(z)$를 가진다.

CDF 계산

• $G(z)=L\int{z}{0}p_z(v)dv=s$
• $T(r)=L\int{r}{0}p_r(w)dw=s$
• 여기서 L은 인텐시티 레벨의 최대 값.

Intensity Mapping

• $G(z) = s = T(r)$
• z 는 다음을 만족한다.
  • $z=G^{-1}(s)=G^{-1}[T(r)]$

이산 값에 대한 변환

• $s_k=T(r_k)=L-1\sum{k}{j=0}p_r(r_j),~k=0,1,2,…,L-1$
• $G(z_q)=L-1\sum{q}{i=0}p_z(z_i)$
• $G(z_q)=s_k=T(r_k)$
• $\therefore z_q=G^{-1}(s_k)$

Example

Histogram Equalization vs. Specification

Local Histogram Processing

• 이전까지 논의된 메서드는 ‘글로벌’ 특성을 가지고 있다. 이는 변환 작업이 이미지 전체의 인텐시티 분포를 수정한다는 것을 의미한다.
• 이러한 접근법은 전반적인 향상을 위해 적합하지만, 작은 영역에 대한 세부 사항을 강조하는 목표를 가질 때 일반적으로 실패한다.
  • Transformation modifies the intensity distribution of an entire image
  • Suitable for overall enhancement
  • Generally, fails when the objective is to enhance details over small areas
• 핵심:
  • 픽셀 중심 이동: 주어진 픽셀의 중심에서 그 주변으로 이동
    • Move from a given pixel’s center to its neighborhood
  • 각 위치에서 계산: 각 위치에서 히스토그램 평활화 또는 Specification(명세화)를 계산
  • 계산 축소: 중첩되지 않는 영역을 사용하여 계산을 줄임

Additional Explain

• Global vs. Local
  • 글로벌 메서드는 전체 이미지에 대한 인텐시티 분포를 수정. 전체 이미지 변화에 적합
  • 로컬 메서드는 이미지의 일부 영역 또는 이웃 영역을 대상. 지역적인 세부 사항과 특징을 강조
• Local Histogram Process
  • 이미지의 각 픽셀에 대해, 그 주변의 이웃을 고려하여 히스토그램 평활화 또는 명세화를 적용
  • 이미지의 작은 영역에서 세부 사항을 강조하고, 지역적인 특징을 개선
• Efficiently Calculate
  • 로컬 히스토그램 처리는 계산이 복잡하다.
  • 중첩되지 않는 영역(i.e., 각 픽셀이 정확히 하나의 로컬 영역에만 속하는 경우)를 사용하여 계산을 단순화하고 효율성을 증대.