Mechanics of Linear Spatial Filtering

이미지를 처리할 때, 각 픽셀에 주변 픽셀 값들의 선형 결합을 적용하는 방식

선형 공간 필터링은 이미지의 각 픽셀에 대해 주변 픽셀과 필터 커널(filter kernel) 사이의 합곱(또는 컨볼루션) 연산을 수행함으로써 이미지를 변형한다. filter as said mask, template, window

Mechanics of Linear Spatial Filtering

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선형 공간 필터링의 기본 메커니즘

선형 연산

• Linear operation

Mask (filter) 고려

• Consider a mask (filter) of odd size m × n
• 홀수 크기 m x n 의 마스크를 고려한다.
  • normally, $m=2a+1,~n=2b+1$ 이고, a, b는 양수이다.

Why odd size?

• 중심 픽셀의 정의:
  • 홀수 크기의 마스크를 사용하면, 마스크의 정중앙에 위치한 픽셀이 정확히 하나 존재하게 되어, 이를 기준으로 연산 수행 가능.
  • 만약, 짝수 필터를 사용하면 중심을 정확하게 정의하는 것이 불가능하다.
• 대칭성:
  • 홀수 크기의 필터는 중심을 기준으로 대칭이 가능하기 때문에, 대칭 연산이 필요한 필터링 (e.g., blur, sharpening) 에서 자주 사용된다.

In generally

• 크기가 M x N 인 이미지 $f$를 크기 m x n 의 필터 마스크로 선형 필터링 하는 것은 다음 표현과 같다.
  • $a=\frac{m-1}{2},~b=\frac{n-1}{2}$
  • Linear spatial filtering = convolving (합성곱) a mask with an imag
• In general, linear filtering of an image f of size M X N with a filter mask of size m X n is given by the expression.

합곱 연산

• 입력 이미지 $f$ 와 필터 커널 $w$ 간의 합곱 연산

필터 커널

• 필터 커널은 이미지의 각 픽셀에 적용되는 작은 행렬이다.
• 각 픽셀에 대해 일련의 이웃 픽셀과 연관된 가중치와 결합.
• 마스크 또는 커널로 표현되며, 이미지 위를 이동하며 각 픽셀과 그 주변 이웃 픽셀과의 결합을 계산한다.
• 이미지의 로컬 영역에 대해 어떤 연산(e.g., 평균, 가중치 합 연산 등)을 수행할 지 정의한다.

가중치 집합 선택

• 필터링에 사용될 가중치 집합(필터 커널)을 선택한다. 이 커널은 이미지의 각 픽셀에 적용되어 주변 픽셀의 가중합을 계산하는 데 사용된다.

선형 필터링

• 이미지의 각 위치 $(x,y)$에서 응답 $g(x,y)$는 다음과 같이 계산된다.
  • $g(x,y)$: 출력 이미지의 (x,y) 위치의 픽셀 값
  • $w(s,t)$: 필터 커널의 (s,t) 위치의 값
    • Convolution mask (가중치)
    • 보통 정규화된 값으로 구성되어 마스크의 모든 값들의 합이 1이 된다.
  • $f(x+s,y+t)$: 입력 이미지의 $(x+s,y+t)$ 위치의 픽셀 인텐시티
  • a, b: 필터 커널의 크기 정의 (e.g., 3x3 커널일 때 a=b=1)

이웃과의 가중합 계산

• 이미지의 각 픽셀에 대해, 해당 픽셀의 이웃과 선택된 가중치 집합을 사용하여 가중합을 계산한다.
• 가중합은 새로운 이미지의 해당 픽셀의 값이 된다.
• Form a new image by replacing each pixel with a weighted sum (i.e., linear combination) of its neighbors, using the same set of weights at each point.

특징

• 필터 커널의 크기와 형태는 필터링의 효과와 계산 복잡도에 영향을 미친다.
• 커널의 키기와 형태는 필터링의 목적에 따라 다르게 선택된다.
• 선형 공간 필터링은 이미지 전체 영역에 대해 수행되며, 각 픽셀은 주변 픽셀의 정보를 사용하여 새로운 값을 계산한다.

Vector Representation of Linear Filtering

• 벡터 표현은 이러한 연산을 좀 더 효과적으로 나타내며, 특히 컴퓨터 비젼과 이미지 처리에서 널리 사용된다.

• 벡터화된 선형 필터링 표현은 픽셀 인텐시티와 가중치를 행렬 또는 벡터로 표현하여 간단하게 만든다.

• #g=H\times f#
  • g: 출력 이미지
  • H: 변환(필터링) 을 나타내는 행렬
  • f: 입력 이미지

Moving average

위 내용은 Convolution 에서 다시한 번 다룸. Spatial Correlation & Convolution